刻画数据包到达方式的方法有两种：一种是用概率来表示某段时间区间内到达的数量；另一种是用概率来表示连续事件发生间隔的长度。本文将介绍泊松过程，讨论长度为 t 的时间区间内到达的数据包数量，以及数据包的到达间隔。

大家好，新年快乐！我是 Peter。

2022 年的第一篇文章，我想介绍一个在信息网络中非常重要的概率模型——泊松过程，以及它的概率计算公式的推导过程。

在研究信息网络，尤其是网络的到达过程时，通常会使用排队论这一方法来进行计算和分析。而泊松过程正是排队论的数学基础之一。

本文将聚焦于信息网络中的一个重要概念——数据包到达过程，用数学方法将其抽象化并推导出微分方程；然后求解该微分方程，最终得到泊松过程的数学表达式：泊松分布。

符号的定义

在介绍泊松过程之前，我们先明确一下符号的定义。

$P_n(t)$：在长度为 t 的时间区间内到达 n 个数据包的概率。
$\lambda$：到达率（单位时间内到达的数据包数）。
$P_{n = 1}(\Delta t) = \lambda\Delta t + o(\Delta t)$：设在 $\Delta t$ 的时间区间内只到达一个数据包的概率与 $\Delta t$ 成比例。
$P_{n \geq 2}(\Delta t) = o(\Delta t)$：设在 $\Delta t$ 的时间区间内到达两个或以上数据包的概率为 $o(\Delta t)$。
$P_{n = 0}(\Delta t) = 1 - \lambda \Delta t - o(\Delta t)$：$\Delta t$ 的时间区间内到达 0 个数据包的概率。
$o(\Delta t)$：满足 $\lim_{\Delta t \to 0 } \frac{o(\Delta t)}{\Delta t} = 0$ 这一性质的符号。

泊松过程的微分方程

长度为 $t + \Delta t$ 的时间区间内到达 n 个数据包的概率，取决于前面长度为 t 的时间区间内到达的数据包数。因此，将这一过程表示为微分方程，如下所示：

$$
P_n(t + \Delta t) = P_{n}(t)\cdot P_{n = 0}(\Delta t) + P_{n - 1}(t)\cdot P_{n = 1}(\Delta t) + [\sum_{i = 2}^n P_{n - i}(t)]\cdot P_{n \geq 2}(\Delta t)
$$

根据符号的定义，将各式代入后，

$$
P_n(t + \Delta t) = P_{n}(t)\cdot (1 - \lambda \Delta t - o(\Delta t)) + P_{n - 1}(t)\cdot (\lambda\Delta t + o(\Delta t)) + [\sum_{i = 2}^n P_{n - i}(t)]\cdot o(\Delta t)
$$

整理成差分形式后，

$$
P_n(t + \Delta t) - P_{n}(t) = - \lambda (P_{n}(t) - P_{n - 1}(t))\Delta t + [\sum_{i = 1}^n P_{n - i}(t) - P_n(t)]\cdot o(\Delta t)
$$

对两边取极限，

$$
\lim_{\Delta t \to 0} \frac{P_n(t + \Delta t) - P_{n}(t)}{\Delta t} = - \lambda (P_{n}(t) - P_{n - 1}(t)) + \lim_{\Delta t \to 0} [\sum_{i = 1}^n P_{n - i}(t) - P_n(t)]\cdot \frac{o(\Delta t)}{\Delta t}
$$

于是关于 $P_n(t)$ 的微分方程如下：

$$
\frac{d P_n(t)}{d t} = - \lambda (P_{n}(t) - P_{n - 1}(t))
$$

用更简洁的微分符号整理后，

$$
P_n^{\prime} = - \lambda P_{n} + \lambda P_{n - 1}
$$

拉普拉斯变换

为了求解这个微分方程，我们先进行拉普拉斯变换。

$X_n(s) = \mathscr{L}[P_n](s)$, $X_{n - 1}(s) = \mathscr{L}[P_{n - 1}](s)$，

$$
\mathscr{L}[P_n^{\prime}](s) = \mathscr{L}[- \lambda P_{n} + \lambda P_{n - 1}](s)
$$

利用拉普拉斯变换的性质，将微分方程重新写成关于 $X_n(s)$ 的多项式，得到

$$
sX_n(s) - P_n(0) = - \lambda X_n(s) + \lambda X_{n - 1}(s)
$$

由于 $P_n(0) = 0$，整理上式求出 $X_n(s)$，得到

$$
X_n(s) = \frac{\lambda X_{n - 1}(s)}{s + \lambda}
$$

求解这个递推式，得到

$$
X_n(s) = \frac{\lambda^n X_{0}(s)}{(s + \lambda)^{n}}
$$

由上式可见，为了求出 $X_n(s)$，我们必须先求出 $X_0(s)$。

为了求出 $X_0(s)$，我们先求出 $P_0(t)$。

$$
P_0(t + \Delta t) = P_0(t)\cdot (1 - \lambda \Delta t - o(\Delta t))
$$

整理等式两边，对差分式取极限，得到

$$
\lim_{\Delta t \to 0} \frac{P_0(t + \Delta t) - P_0(t)}{\Delta t} = - \lambda P_0(t)\Delta t - \lim_{\Delta t \to 0} \frac{o(\Delta t)}{\Delta t}
$$

于是，$P_0(t)$ 的微分方程如下：

$$
\frac{d P_0(t)}{d t} = -\lambda P_0(t)
$$

求解这个微分方程，得到

$$
P_0(t) = e^{- \lambda t}
$$

利用 $P_0(t)$ 求出 $X_0(s)$，得到

$$
X_0(s) = \mathscr{L}[P_0(t)](s) = \frac{1}{s + \lambda}
$$

将 $X_0(s)$ 代入 $X_n(s)$，得到

$$
X_n(s) = \mathscr{L}[P_n(t)](s) =\frac{\lambda^n}{(s + \lambda)^{n+1}}
$$

拉普拉斯逆变换

由于 $X_n(s)$ 是 $P_n(t)$ 的拉普拉斯变换，为了求出 $P_n(t)$，我们对 $X_n(s)$ 做拉普拉斯逆变换。

$$
P_n(t) = \mathscr{L}^{-1}[\frac{\lambda^n}{(s + \lambda)^{n+1}}](t)
$$

将常数分离出来，得到

$$
P_n(t) = \lambda^n\mathscr{L}^{-1}[\frac{1}{(s + \lambda)^{n+1}}](t)
$$

$\mathscr{L}[t^n e^{- \lambda t}](s) = \frac{n!}{(s + \lambda)^{n+1}}$，因为

$$
\mathscr{L}^{-1}[\frac{n!}{(s + \lambda)^{n+1}}](t) = n!\mathscr{L}^{-1}[\frac{1}{(s + \lambda)^{n+1}}](t) = t^n e^{- \lambda t}
$$

把上式稍作整理，得到

$$
\mathscr{L}^{-1}[\frac{1}{(s + \lambda)^{n+1}}](t) = \frac{t^n e^{- \lambda t}}{n!}
$$

由此可得，

$$
P_n(t) = \frac{(\lambda t)^n e^{- \lambda t}}{n!}
$$

这个概率分布式，就被称为「泊松分布」。

总结

着眼于泊松过程的定义，将其建模并导出微分方程。

$$
P_n^{\prime} = - \lambda P_{n} + \lambda P_{n - 1}
$$

然后利用拉普拉斯变换求解这个微分方程，就得到了泊松分布式：

$$
P_n(t) = \frac{(\lambda t)^n e^{- \lambda t}}{n!}
$$

这次我们暂且推导出了泊松过程以及泊松分布式，但还没有详细说明它对信息网络到底有什么用。所以，从下一篇开始，我们会用泊松过程来推导吞吐量模型，一起在信息网络的世界里继续享受乐趣吧！

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