パケットの到着がどのように起こっているかを特徴付ける方法は二つある。一つはある時間間隔の間にいくつ到着するかを確率的に表現する方法であり、もう一つは、連続する出来事の発生間隔の長さを確率的に表現する方法である。本文は、長さtの時間区間に到着するパケット数並びにパケットの到着間隔を議論するポアソン過程を紹介する。
みなさん、明けましておめでとうございます！ピータです。
2022年最初のポストは、情報ネットワークに関わるすごく大切な確率モデル：ポアソン過程及びその確率計算式の導出を紹介していきたいと思います。
情報ネットワーク、特にネットワークの到着過程を研究する際、よく待ち行列理論という手法を使って計算とか、分析とかを行われます。その待ち行列理論に数学基盤の一つとは、ポアソン過程であります。
本文では、情報ネットワークに関わる重大な概念、パケット到着過程を着眼し、数学の手法によりこの過程を抽象化して微分方程式を導出します。そして微分方程式を解いて、ポアソン過程の数学表現：ポアソン分布までも示します。
記号の定義
ポアソン過程を紹介する前、先に記号の定義を明らかにすると思われます。
- $P_n(t)$: 長さtの時間区間にn個のパケットを到着する確率。
- $\lambda$: 到着率。（単位時間内到着のパケット数）
- $P_{n = 1}(\Delta t) = \lambda\Delta t + o(\Delta t)$ : $\Delta$tの時間区間にパケットが一つしか到着しない確率は$\Delta t$に比例するとおきます。
- $P_{n \geq 2}(\Delta t) = o(\Delta t)$ : $\Delta$tの時間区間にパケットが二つ以上到着する確率は$o(\Delta t)$とおきます。
- $P_{n = 0}(\Delta t) = 1 - \lambda \Delta t - o(\Delta t)$ : $\Delta$tの時間区間にパケットが0個到着する確率。
- $o(\Delta t)$ : $\lim_{\Delta t \to 0 } \frac{o(\Delta t)}{\Delta t} = 0$という性質をもつ記号。
ポアソン過程の微分方程式
長さ$t + \Delta t$の時間区間にn個のパケットが到着する場合の確率は、前のt時間区間に到着したパケット数により決められます。それゆえ、この過程を微分方程式に現れると、以下となります：
$$
P_n(t + \Delta t) = P_{n}(t)\cdot P_{n = 0}(\Delta t) + P_{n - 1}(t)\cdot P_{n = 1}(\Delta t) + [\sum_{i = 2}^n P_{n - i}(t)]\cdot P_{n \geq 2}(\Delta t)
$$
記号の定義により、それぞれの式を代入しますと、
$$
P_n(t + \Delta t) = P_{n}(t)\cdot (1 - \lambda \Delta t - o(\Delta t)) + P_{n - 1}(t)\cdot (\lambda\Delta t + o(\Delta t)) + [\sum_{i = 2}^n P_{n - i}(t)]\cdot o(\Delta t)
$$
差分のように整理しますと、
$$
P_n(t + \Delta t) - P_{n}(t) = - \lambda (P_{n}(t) - P_{n - 1}(t))\Delta t + [\sum_{i = 1}^n P_{n - i}(t) - P_n(t)]\cdot o(\Delta t)
$$
両辺を極限を取りますと、
$$
\lim_{\Delta t \to 0} \frac{P_n(t + \Delta t) - P_{n}(t)}{\Delta t} = - \lambda (P_{n}(t) - P_{n - 1}(t)) + \lim_{\Delta t \to 0} [\sum_{i = 1}^n P_{n - i}(t) - P_n(t)]\cdot \frac{o(\Delta t)}{\Delta t}
$$
それで$P_n(t)$に関わる微分方程式は以下となります。
$$
\frac{d P_n(t)}{d t} = - \lambda (P_{n}(t) - P_{n - 1}(t))
$$
微分符号をより簡潔にしてまとめますと、
$$
P_n^{\prime} = - \lambda P_{n} + \lambda P_{n - 1}
$$
ラプラス変換
微分方程式を解きますように、先にラプラス変換を行います。
$X_n(s) = \mathscr{L}[P_n](s)$, $X_{n - 1}(s) = \mathscr{L}[P_{n - 1}](s)$とおきますと、
$$
\mathscr{L}[P_n^{\prime}](s) = \mathscr{L}[- \lambda P_{n} + \lambda P_{n - 1}](s)
$$
ラプラス変換の性質を用いて、微分方程式を改めて$X_n(s)$の多項式に書きますと、
$$
sX_n(s) - P_n(0) = - \lambda X_n(s) + \lambda X_{n - 1}(s)
$$
$P_n(0) = 0$でありますから、上式を整理して$X_n(s)$を求めますと、
$$
X_n(s) = \frac{\lambda X_{n - 1}(s)}{s + \lambda}
$$
漸化式を解きますと、
$$
X_n(s) = \frac{\lambda^n X_{0}(s)}{(s + \lambda)^{n}}
$$
上式に表れるように、$X_n(s)$を求めるために、$X_0(s)$を求めなければなりません。
$X_0(s)$を求めるために、先に$P_0(t)$を求めます。
$$
P_0(t + \Delta t) = P_0(t)\cdot (1 - \lambda \Delta t - o(\Delta t))
$$
左右を整理して差分式の極限を取りますと、
$$
\lim_{\Delta t \to 0} \frac{P_0(t + \Delta t) - P_0(t)}{\Delta t} = - \lambda P_0(t)\Delta t - \lim_{\Delta t \to 0} \frac{o(\Delta t)}{\Delta t}
$$
そして、$P_0(t)$の微分方程式は以下となります。
$$
\frac{d P_0(t)}{d t} = -\lambda P_0(t)
$$
この微分方程式を解きますと、
$$
P_0(t) = e^{- \lambda t}
$$
$P_0(t)$を用いて$X_0(s)$を求めますと、
$$
X_0(s) = \mathscr{L}[P_0(t)](s) = \frac{1}{s + \lambda}
$$
$X_0(s)$を$X_n(s)$に代入しますと、
$$
X_n(s) = \mathscr{L}[P_n(t)](s) =\frac{\lambda^n}{(s + \lambda)^{n+1}}
$$
逆ラプラス変換
$X_n(s)$は$P_n(t)$のラプラス変換でありますから、$P_n(t)$を得られますように、$X_n(s)$の逆ラプラス変換を取ります。
$$
P_n(t) = \mathscr{L}^{-1}[\frac{\lambda^n}{(s + \lambda)^{n+1}}](t)
$$
定数を分離しますと、
$$
P_n(t) = \lambda^n\mathscr{L}^{-1}[\frac{1}{(s + \lambda)^{n+1}}](t)
$$
$\mathscr{L}[t^n e^{- \lambda t}](s) = \frac{n!}{(s + \lambda)^{n+1}}$であるため、
$$
\mathscr{L}^{-1}[\frac{n!}{(s + \lambda)^{n+1}}](t) = n!\mathscr{L}^{-1}[\frac{1}{(s + \lambda)^{n+1}}](t) = t^n e^{- \lambda t}
$$
上式を少し整理しますと、
$$
\mathscr{L}^{-1}[\frac{1}{(s + \lambda)^{n+1}}](t) = \frac{t^n e^{- \lambda t}}{n!}
$$
よりますと、
$$
P_n(t) = \frac{(\lambda t)^n e^{- \lambda t}}{n!}
$$
この確率分布式は、「ポアソン分布」と呼ばれます。
まとめ
ポアソン過程の定義を着眼し、モデル化されて微分方程式を導きます。
$$
P_n^{\prime} = - \lambda P_{n} + \lambda P_{n - 1}
$$
そして、ラプラス変換を用いて微分方程式を解きますと、ポアソン分布式が得られます：
$$
P_n(t) = \frac{(\lambda t)^n e^{- \lambda t}}{n!}
$$
今回はとりあえずポアソン過程およびポアソン分布式を導きましたけど、情報ネットワークにどんな役に立ちますかまだ詳しく説明されませんでした。それで、次回からポアソン過程を用いてスループットのモデルを導き、情報ネットワークの世界に楽しみましょう！